Matemática básica Ejemplos

$\frac{4 x^{2} - 196}{5 x^{2} + 20 x} \div \frac{x^{2} + 14 x + 49}{x^{2} + 11 x + 28}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 x^{2} - 196}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 196$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 196}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $- 196$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 49}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 2.1.3

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 \cdot - 49$ .

$\frac{4 (x^{2} - 49)}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 2.2

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 7^{2})}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x^{2} + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 3

Factoriza $5 x$ de $5 x^{2} + 20 x$ .

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Paso 3.1

Factoriza $5 x$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x) + 20 x} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 3.2

Factoriza $5 x$ de $20 x$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x) + 5 x (4)} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 3.3

Factoriza $5 x$ de $5 x (x) + 5 x (4)$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{x^{2} + 11 x + 28}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 4

Factoriza $x^{2} + 11 x + 28$ con el método AC.

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Paso 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $11$ .

$4, 7$

Paso 4.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{x^{2} + 14 x + 49}$

Paso 5

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{x^{2} + 14 x + 7^{2}}$

Paso 5.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Paso 5.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}$

Paso 5.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 7$ .

$\frac{4 (x + 7) (x - 7)}{5 x (x + 4)} \cdot \frac{(x + 4) (x + 7)}{{(x + 7)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Combinar.

$\frac{4 (x + 7) (x - 7) ((x + 4) (x + 7))}{5 x (x + 4) {(x + 7)}^{2}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x + 7$ y ${(x + 7)}^{2}$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $x + 7$ de $4 (x + 7) (x - 7) ((x + 4) (x + 7))$ .

$\frac{(x + 7) ((4 (x - 7)) ((x + 4) (x + 7)))}{5 x (x + 4) {(x + 7)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.2.2.1

Factoriza $x + 7$ de $5 x (x + 4) {(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{(x + 7) ((4 (x - 7)) ((x + 4) (x + 7)))}{(x + 7) (5 x (x + 4) (x + 7))}$

Paso 6.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 7) ((4 (x - 7)) ((x + 4) (x + 7)))}{(x + 7) (5 x (x + 4) (x + 7))}$

Paso 6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 (x - 7)) ((x + 4) (x + 7))}{5 x (x + 4) (x + 7)}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 6.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 7) ((x + 4) (x + 7))}{5 x (x + 4) (x + 7)}$

Paso 6.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(4 (x - 7)) (x + 7)}{5 x (x + 7)}$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $x + 7$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 7) (x + 7)}{5 x (x + 7)}$

Paso 6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (x - 7)}{5 x}$